コンプリートガチャの平均試行回数

広告問題:東急線全96駅をキャラクター化したゲームでは、平均何回ガチャを回せばすべてのキャラクターをコンプリートできるか?

これは、「コンプリートガチャの回数の期待値」を求める問題である。
k 種類手に入れた状態から新たに1種類手に入れるまでの回数を n とする。
n 回目に初めて新しいものが手に入るので、その確率は

  (k/96)^(n-1)*((96-k)/96)

となり、期待値は n * (nの確率)となる。

k が 0 ~ 95 までの和が求める期待値となる。
煩雑な計算をすると
  ≒ 96 * (1+1/2+1/3+…+1/96)
  ≒ 96 * (log96 + 0.57721)  log96は自然対数で 4.5643  0.57721 オイラー定数
  = 493.5896
よってトータルの期待値は
  494 となり、
  96種類のフィギュアのコンプリートガチャの平均試行回数は 494回 である。
(以上)

  

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